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Méthodes de capitalisation et d’actualisation à intérêts simples et intérêts composés

mai 27th, 2019 Posted by Uncategorized 0 thoughts on “Méthodes de capitalisation et d’actualisation à intérêts simples et intérêts composés”

Intérêts simples – définitions

On dit qu’un capital Co est placé à intérêts simples pour une durée totale de n périodes à un taux d’intérêt i relatif à une période lorsqu’un intérêt périodique It étant calculé pour chaque période en appliquant le taux d’intérêt i sur le capital de départ, on additionne tous ces intérêts périodiques pour obtenir l’intérêt total I. La valeur acquise appelée Cn obtenue après n périodes est calculée en majorant le capital placé Co de l’intérêt total I.

Détermination de l’intérêt :

interets-simples

Détermination de la valeur acquise :

valeur-acquise

Le facteur de capitalisation IR est le coefficient par lequel le capital actuel connu Co est multiplié pour obtenir la valeur future capitalisée Cn

IR + 1 + i.n

Exemples de calcul avec intérêts simples

interet-simple-composeDéterminez pour un capital de 1 000 000 Euros placé pendant 5 ans à intérêts simples à du 7% l’an :

a) la rémunération obtenue par le prêteur à la fin de chaque période

b) l’intérêt total obtenu au bout des 5 ans

c) la valeur acquise par le capital de départ au bout des 5 ans

Solution :

a) I = 1 000 000 . 0,07 = 70 000 soit 70 000 Euros reçus au bout de chaque année

b) I = 1 000 000 . 0,07.5 = 350 000 soit 350 000 Euros d’intérêt reçus au bout des 5 ans c) C5 = 1 000 000 . (1+0,07.5) = 1 350 000 Euros. Le million prêté a une valeur acquise de 1 350 000 Euros au bout de 5 ans.

Les mêmes questions sont posées dans le cas d’un capital d’un million placé pendant 5 ans à intérêts simples à un taux de 5% par semestre.

Solution :

  1. It = 1 000 000 . 0,05 = 50 000 soit 50 000 Euros reçus à la fin de chaque semestre
  2. I = 50 000 . 10 = 500 000 soit 500 000 Euros reçus au bout de 10 semestres (5 ans)
  3. C10 = 1 000 000 (1+0,05.10) = 1 500 000 Euros. Ce montant correspond à la valeur acquise par le million placé à intérêts simples pendant 5 ans au taux de 5% par semestre.

La valeur actuelle Co établie en to équivalente à intérêts simples à un capital Cn, associé au temps tn, soit n périodes plus tard, découle de la formule (F3) si le taux d’actualisation i est relatif à une période.

valeur-actuelle

La valeur actuelle Co obtenue par (F5) est encore appelée valeur escomptée par escompte rationnel. Le facteur d’escompte rationnel ER est le coefficient par lequel le capital connu et futur Cn est multiplié pour obtenir la valeur équivalente actualisée Co.

valeur-actualisee

Exemples :

Quelle est, aujourd’hui, la valeur escomptée par escompte rationnel de 50 000 Euros à recevoir dans 6 mois si le taux d’intérêt annuel est de 6% ?

Solution : Co = 50 000/(1+0,06.0,5) = 48 543,689 Euros

Vérification : Co,5 = 48 543,689 . (1+0,06.0,5) = 50 000 Euros

  • Une personne (X) emprunte, à du 8% l’an une somme de 2 000 $, à rembourser dans 9 mois à une autre personne (S). Soit C, le montant à payer par X à S au bout des 9 mois. Trois mois après la date du prêt, S vend la reconnaissance de dette de X à Z, qui désire retirer du 10% de son placement à intérêts simples. Que vaut P3, c’est-à-dire le prix de vente de la reconnaissance de dette ?
  • Solution :

C9 = 2000(1+0,08.0,75) = 2120$

P3 = 2120 / (1+0,10.0,5) = 2019$

Analyse de la méthode et hypothèses

La méthode de capitalisation à intérêts simples est basée sur deux hypothèses :

Hypothèse 1 (H1) : les flux financiers sont certains

On ne met pas en doute le fait que certains paiements seront effectués à certains moments précis dans le temps, que l’emprunteur paiera ses dettes, que l’investissement générera les recettes établies, que l’action procurera un certain dividende, etc.

Dans les enseignements de gestion financière qui font largement appel au principe d’actualisation, cette hypothèse sera évidemment critiquée et différentes solutions seront proposées pour estimer les capitaux futurs de la meilleure façon possible.

Cette hypothèse caractérise en fait les mathématiques financières ou l’algèbre financière.

Les mathématiques viagères, qui découlent des mathématiques financières, sont utilisées dans les compagnies d’assurance car elles font appel aux probabilités liées à l’incertitude de la durée de la vie des individus.

Hypothèse 2 (H2) : le taux d’intérêt est constant et unique

C’est toujours le même taux d’intérêt pour 1 relatif à une période, celui qui a été fixé à la signature du contrat, qui est appliqué pour calculer tous les intérêts périodiques (formule (F1)).

On n’envisage donc pas lors de la capitalisation à intérêts simples que le contrat liant le prêteur à l’emprunteur ait un taux d’intérêt variable, ni que plusieurs taux, connus dès la signature du contrat, puissent être appliqués.

Ces deux hypothèses indiquent que nous travaillons en avenir déterministe, et que les agents économiques ont une connaissance parfaite de tous les flux financiers considérés.

Intérêts composés – Définitions

actualisation-capitalLes agents économiques en surplus financier qui envisagent de prêter des capitaux vont en général proposer une formule de prêt qui leur procure un intérêt maximum.

Trois stratégies permettent d’obtenir ce maximum, mais l’une d’entre elles, la dernière des trois stratégies qui vont être présentées, celle qui est appelée méthode de capitalisation à intérêts composés, donne l’intérêt de façon immédiate et certaine, alors que les deux autres nécessitent des opérations financières intermédiaires sujettes à des modifications de taux d’intérêt.

lère stratégie : replacement annuel des intérêts périodiques

Exemple :

Soit      1 000 000 Euros = le capital Co prêté au temps to

5 ans = la durée du prêt qui s’achève en t5 (n=5)

8% = i le taux d’intérêt annuel

Hypothèses : Les hypothèses 1 et 2 énoncées précédemment sont supposées satisfaites : le prêteur est certain de pouvoir replacer immédiatement les intérêts I4 dès qu’il les perçoit, c’est-à-dire à la fin de chaque période et le taux i est le taux qui sera appliqué à chaque période (hypothèse peu réaliste).

Les intérêts de la période 1 soit I1 ont une valeur de 80 000 Euros associée au temps t1. Cette somme, replacée pendant 1 an, a une valeur acquise de 86 400 Euros en t2. A son tour, ce montant peut être replacé pendant un an et devient 93 312 Euros en t3 etc. jusqu’en t5, moment où les 80 000 Euros du départ sont devenus, par leur replacement à du 8% (hypothèse de taux unique) 108 839 Euros.

Le même raisonnement peut être suivi pour les 80 000 Euros qui constituent I2 au temps t2; en t5, ils sont devenus 100 777 Euros.

De la même manière I3 et I4 deviennent en t5 respectivement 93 313 et 86 400 Euros.

Les 80 000 qui constituent I5 ne sont pas replacés, puisqu’ils sont perçus en t5.

En additionnant toutes ces valeurs acquises par les It, on obtient un intérêt total égal à 469 328 Euros et les 1 000 000 Euros prêtés ont acquis en 5 ans une valeur de 1 469 328 Euros.

Formalisation

temps-valeurs-acquises

 

 

 

 

 

 

Or I1=I2=I3=…=It=…=In                       (voir (F1))

Cn devient

Cn = C0+I1 [(1+i)n-1+(1+i)n-2 +…+(1+i)+1]

Réécrite, cette expression devient

Cn = C0+I1 [1+(1+i)+…+(1+i)n-1]

Les termes entre crochets sont en progression géométrique de raison (1+i).

Une formule fréquemment utilisée en algèbre financière donne la valeur de la somme de termes en progression géométrique.

somme-termes-progression-geometrique

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Application de la formule :

Cn = 1 000 000 (1,08)5 = 1 469 328 Euros

2ème stratégie : prêt renouvelé chaque année

Le prêteur ne prête C0 que pour une période. A la fin de celle-ci, il récupère le capital majoré de l’intérêt périodique et reprête l’ensemble pour la période suivante. Il renouvelle l’opération autant de fois qu’il le souhaite.

Les hypothèses 1 et 2 sont supposées satisfaites, or ceci n’est pas évident dans la pratique.

Le même exemple donne les résultats suivants :

1 000 000 en t0 deviennent 1 080 000 en t1

1 080 000 en t1 deviennent 1 166 400 en t2

1 166 400 en t2 deviennent 1 259 712 en t3

1 259 712 en t3 deviennent 1 360 489 en t4

1 360 489 en t4 deviennent 1 469 328 en t5

Ceci veut dire que selon cette technique, et en supposant que toutes les opérations se sont réalisées au taux de 8% (hypothèse de taux unique), le capital de 1.000.000 Euros a une valeur acquise de 1 469 328 Euros en t5, soit le même résultat que la stratégie précédente.

Formalisation

pret-renouvele

 

 

 

 

 

 

 

 

3ème stratégie : capitalisation à intérêts composés

Le prêteur exige que l’emprunteur paie à la fin du prêt, un dédommagement total qui tienne compte des dédommagements It et des intérêts produits par le replacement des I jusqu’à la fin du prêt, à un taux identique à celui appliqué au capital prêté. Les hypothèses 1 et 2 sont encore supposées satisfaites.

Définition de la méthode : Un capital placé pendant n périodes à intérêts composés rapporte un intérêt total calculé en incorporant les intérêts périodiques dans le capital au bout de chaque période de capitalisation. Ces intérêts produisent à leur tour des intérêts jusqu’à la fin de l’opération financière, aux mêmes conditions que le capital de départ.

Formalisation :

interets-composes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Conclusion

 Ces trois stratégies donnent un résultat rigoureusement équivalent si les hypothèses H1 et H2 sont satisfaites, mais la capitalisation à intérêts composés fixe dès le départ toutes les conditions du prêt, tandis que les deux autres dépendent dans la réalité de l’évolution du taux d’intérêt, et font donc courir au prêteur un risque de taux d’intérêt puisqu’il doit effectuer de nouveaux placements à la fin de chaque période. En conséquence, la méthode de capitalisation à intérêts composés semble la méthode à retenir par le prêteur s’il veut éviter tout risque de taux d’intérêt.

Comparaison des méthodes de capitalisation à intérêts simples (IS) et à intérêts composés (IC)

Première constatation : la formule permettant de trouver avec la méthode des intérêts simples la valeur acquise connaissant la valeur de départ, la durée totale du placement et le taux d’intérêt est une expression linéaire tandis que la formule a une forme exponentielle avec la méthode des intérêts composés.

Le tableau met en évidence

  1. d’une part que l’écart entre les valeurs acquises obtenues à IS et IC est d’autant plus élevé que le taux d’intérêt est élevé et que la durée est longue,
  2. d’autre part que pour des durées de placement inférieures à la période de capitalisation, la valeur acquise à IS est supérieure à celle obtenue à IC.

tableau-interets-simpls-composes

Les deux premiers termes constituent le facteur de capitalisation à intérêts simples IR. Le reste d’ordre 2 est composé de termes d’autant plus négligeables que i et n sont petits. Donc, lorsque le taux d’intérêt est faible et la durée totale du prêt est courte, la valeur acquise à IC est très proche de celle obtenue à IS.

Troisième constatation : la méthode de calcul des intérêts à intérêts simples a comme gros avantage une grande simplicité d’utilisation dans des problèmes financiers élémentaires, mais ne permet pas de résoudre simplement des problèmes financiers dans lesquels on réalise des opérations à des échéances intermédiaires, comme le montre l’exemple ci-dessous :

1° Soit 2 000,-Euros placés au taux annuel réel de 8% à intérêts simples pendant 9 mois :

  • en le plaçant directement pour 9 mois, on obtient une valeur acquise C9 de 2 120,-Euros.
  • en le plaçant pendant 3 mois, on obtient une valeur acquise C3 de 2 040, Euros. Si ceux-ci sont replacés pour 6 mois, ils donnent une valeur acquise finale C’9, de 2 121,6 Euros
  • la différence entre C9, et C’9, correspond à l’intérêt pendant 6 mois sur l’intérêt de 40 Euros obtenu au bout des 3 mois.

2° Si on effectue un escompte rationnel partant de C9, on retrouvera 2000 Euros mais on n’obtiendra évidemment pas ce résultat en partant de C’9.

3° Si les mêmes opérations de capitalisation sont réalisées à intérêts composés, les valeurs acquises dans les deux cas seront tout à fait identiques et égales à 2 118,84 Euros. Il n’y aura pas non plus de différences lors de l’opération d’actualisation.

Hypothèse d’efficacité financière

Si l’on veut élaborer une théorie financière cohérente et rationnelle, il faut formuler une hypothèse fondamentale supplémentaire :

Hypothèse 3 (H3) : un Euro ne reste jamais improductif d’intérêt car il est immédiatement placé.

En d’autres termes :

  • Avoir un Euro aujourd’hui vaut plus qu’avoir un Euro dans 1 an, puisque l’Euro d’aujourd’hui, placé pendant 1 an, vaudra 1(1+i) Euro dans un an. Rappelons que dans le taux d’intérêt appliqué, ou taux d’intérêt nominal, il y a au moins deux composantes : le taux d’inflation attendu et le taux d’intérêt réel. Il faut donc que le taux nominal soit supérieur au taux d’inflation attendu ; si le taux nominal est inférieur à l’inflation effectivement réalisée, l’Euro d’aujourd’hui vaudra moins qu’un Euro demain, car celui d’aujourd’hui aura subi pendant 1 an tout ou une partie de l’érosion monétaire !
  • Si on dispose d’un capital pour une certaine durée, on ne le laisse pas inactif : soit on le place de façon rémunératrice, soit on l’utilise en trésorerie et on lui affecte une rémunération identique au coût de l’emprunt que l’on ne doit pas réaliser, soit on l’affecte à un investissement productif dont on détermine le taux de rentabilité etc. Dans tous les cas, on peut calculer ce que l’opération rapporte.
  • Si on a besoin de capitaux supplémentaires, on les empruntera en sachant qu’ils devront être remboursés majorés des intérêts.

Cette hypothèse stipule qu’un capital C, associé à un temps t, aura une valeur différente si on l’associe à un autre moment :

  • Si on l’associe au temps t’ = t+h avec h>0, il aura une valeur C’>C parce qu’il aura été placé pendant la période h.

Donc C + intérêt = C’ (opération de capitalisation)

  • Si on l’associe au temps t » = t+h avec h<0, il aura une valeur C » <C parce que C », placé jusqu’au temps t à un certain taux d’intérêt, devra donner une valeur égale à C à ce moment. Donc C »‘ + intérêt = C (opération d’actualisation)

En vertu de cette hypothèse, il faut toujours associer un capital à un moment précis dans le temps.

Donc :

  • Avoir un capital C0 en t0 permet d’obtenir un capital Cn en tn
  • Posséder une créance de Cn, Euros payable en tn équivaut à avoir en t0 un capital C0 puisque celui-ci, placé pendant les n périodes donnera Cn, comme valeur acquise.

Pour la commodité de l’écriture, on utilisera les capi-temps.

L’équation des valeurs résume l’idée que si le taux d’intérêt i est donné, la connaissance de la valeur d’un capital à un moment t donné permet d’en calculer la valeur équivalente à n’importe quel autre moment t+h:

(C,t) = (C(1+i)h, t+h) avec h positif ou négatif

Exemples :

Si i = 8%, (1 000 000, t0) = (1 469 328, t5) à intérêts composés.

Dans les mêmes conditions, (93 312, t5) = (80 000, t3)

Remarque importante :

Cette hypothèse n’est pas satisfaite avec la méthode de capitalisation à intérêts simples, puisque celle-ci additionne des intérêts périodiques pour donner l’intérêt total.

Rentabilité et d’un investissement

mai 20th, 2019 Posted by Uncategorized 0 thoughts on “Rentabilité et d’un investissement”

Hypothèse de taux d’intérêt unique satisfaite

Toute décision d’investir, donc de réaliser une dépense à un certain moment, doit avoir fait l’objet d’une analyse visant à mettre en évidence sa rentabilité : il faut que les recettes futures, compte tenu des dépenses futures et de l’investissement de départ, permettent de générer un bénéfice net suffisant.

Rappelons que l’analyse se fait dans le cadre de ce cours sous les hypothèses de taux unique, d’avenir certain et d’efficacité financière.

Soient :

  • D0        la dépense initiale réalisée en 0
  • (Rt,t)    les recettes associées aux temps 1, 2,…, n
  • (Dt,t)    les dépenses associées aux temps 1, 2,…, n

Une des méthodes de calcul de la rentabilité d’un investissement consiste à déterminer ce que l’on appelle la valeur actuelle nette (VAN) ou GOODWILL, qui est la valeur actuelle de tous les flux financiers, y compris la dépense initiale, calculée au moment de l’investissement.

rentabilite-investissement

Si la VAN est supérieure à 0, les recettes nettes annuelles (les recettes moins les dépenses) actualisées au moment de l’achat de l’équipement sont supérieures à la dépense initiale, et l’investissement peut être envisagé, mais doit être comparé à d’autres alternatives éventuelles plus rentables.

Si par contre la VAN est inférieure à 0, la dépense initiale ne génère pas de recettes nettes futures suffisantes ; l’investissement doit être rejeté.

Cette présentation de la VAN appelle immédiatement un commentaire très important : la décision d’accepter ou de rejeter un investissement dépend directement du choix du taux d’intérêt utilisé dans les calculs d’actualisation. Le taux d’intérêt que choisissent les financiers pour calculer une VAN correspond en général au « coût d’opportunité du capital », c’est-à-dire au taux de rendement moyen estimé pour un placement également risqué.

En conséquence, pour un investissement donné, plus les recettes sont aléatoires, plus le taux d’actualisation sera élevé. Ceci réduit les recettes nettes actualisées et amène à rejeter plus facilement l’investissement (VAN < 0).

Une autre méthode possible est celle de la recherche d’un taux d’intérêt qui annule la VAN de l’investissement. Ce taux s’appelle le Taux de Rentabilité Interne (TRI).

Les calculettes financières possèdent des programmes donnant une excellente approximation de ce taux, qui ne peut être déterminé de façon exacte. Le chapitre suivant présentera deux méthodes permettant de trouver une approximation du taux d’intérêt recherché.

Ces méthodes permettent de rejeter un investissement si son TRI est insuffisant, ou de choisir l’investissement qui donne le TRI le plus élevé.

Application

Calcul de la VAN pour différents taux d’intérêt et du TRI pour les deux investissements suivants :

Données Investissement 1 Investissement 2
D0

Rt– Dt

t

–  1 000 000

250 000

1, 2,…, 7

– 1 500 000

350 000

1, 2,…, 7

 

i VAN 1 VAN 2
2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

 

TRI

587 348

446 593

324 150

217 105

123 075

– 40 105

33 423

– 98 852

 

16,33 %

722 287

525 231

353 810

203 947

72 305

– 43 853

–  146 792

–  238 393

 

14,02 %

 

Remarque : outre les 2 méthodes de calcul de la rentabilité d’un investissement présentées, on trouve encore la méthode dite du « Pay Back Period« . Cette méthode, qui détermine le temps nécessaire pour récupérer la dépense initiale grâce aux recettes nettes annuelles, ne repose pas sur l’hypothèse H3 d’efficacité financière et n’est donc pas considérée comme valable dans le cadre de ce cours. Pour les deux investissements présentés ci-dessus, les Pay Back Period sont respectivement de 4 et 4,285 années.

Hypothèse de taux d’intérêt unique non satisfaite

Si on abandonne cette hypothèse, il faut remplacer le taux d’intérêt unique par un taux spécifique à chaque durée séparant la date d’actualisation des moments auxquels les capitaux futurs sont associés.

La formule devient :

taux-interet-unique

où it, est le taux réel correspondant à une immobilisation d’un capital Ct pendant une durée de t périodes.

Cette expression sera utilisée et développée dans d’autres cours à caractère financier.

Détermination de la durée du placement

Formule exacte

Partant de la formule générale de l’intérêt composé F6, il est aisé de trouver la durée du placement nécessaire pour obtenir Cn, partant de C0 (ou C0 partant de Cn) si le taux d’intérêt est connu.

duree-placement

Formule approchée

Il existe une méthode approchée utilisée par les praticiens pour déterminer rapidement le nombre d’années nécessaire pour doubler un capital à intérêts composés, à un taux d’intérêt déterminé :

formule-approchee

On peut remplacer ln (1 + i) par son développement en série de Mac Laurin limite au deuxième ordre : ln (1 + i) = 0 + i + reste d’ordre 2, donc ln (1 + i) – i

D’autre part, ln 2 = 0,6931… soit approximativement 0,70

Donc   n = 0,70 / i

La formule approchée utilisée en pratique est :

n =   70 /  i (en % l’an)

Exemple : au bout de combien d’années un capital de 1 000 € est-il doublé à intérêts composés si le taux d’intérêt annuel est de 5 % ?

Solution : 14,2067 ans (méthode exacte) et 14 ans (méthode approchée).

Détermination du taux d’intérêt

Appliquant la formule générale des intérêts composés F6 et connaissant Cn, C0 et n. le taux d’intérêt correspondant à cette capitalisation est trouvé par la formule suivante :

determination-taux-interet

Exemple :

  • C0        =          10 000 €
  • Cn        =          14 693,3
  • n          =          5 ans
  • i           =          ?

Solution : le taux d’intérêt annuel vaut 0,08 (8%).

 

 

valeur-capital

Taux d’intérêt, valeur acquise et valeur actuelle d’un capital

mai 20th, 2019 Posted by Uncategorized 0 thoughts on “Taux d’intérêt, valeur acquise et valeur actuelle d’un capital”

Opérations financières, taux d’intérêt, intérêt et valeur acquise

Opérations financières

Par opérations financières, on entendra les flux financiers suivants :

  • le « prêt » d’un capital d’une personne à une autre (qui effectue un « emprunt ») en général pour une durée limitée dans le temps ;
  • le prêt d’une institution financière (banque, caisse d’épargne,…) à un de ses clients (particulier ou société), qui bénéficie d’un « crédit bancaire » pour financer soit une opération déterminée (un investissement productif pour une entreprise, un bien de consommation pour un particulier,…) soit pour alimenter sa trésorerie insuffisante ;
  • le prêt d’un client d’une institution financière (banque, caisse d’épargne) à celle-ci, sous la forme d’un « dépôt bancaire » (dépôt à terme, dépôt dans un carnet d’épargne,…);
  • le prêt réalisé par un grand nombre d’agents économiques qui financent une entreprise ou un état en lui achetant des « obligations » ou « titres » considérés comme des reconnaissances de dettes. L’ensemble de ces obligations constitue un « emprunt obligataire » ou un « emprunt par titres ».

Dans toute opération financière, le prêteur demande à l’emprunteur un dédommagement qui tient compte des éléments suivants :

  1. le renoncement à l’utilisation ou simplement à la détention d’un capital pendant la période de prêt.
  2. l’érosion monétaire attendue pour cette période. Il est évident qu’un capital devrait toujours avoir, au moment du remboursement, une valeur réelle au moins identique à celle qu’il avait au moment du prêt.
  3. les risques que court le prêteur. Parmi ceux-ci, il faut citer :
    • le risque lié au débiteur, c’est-à-dire le risque de non-paiement des intérêts et/ou de non-remboursement de la dette ;
    • le risque de change, c’est-à-dire le risque de diminution de la valeur de la monnaie dans laquelle a été réalisé le prêt par rapport à une monnaie de référence.
  4. l’impôt éventuel qui sera appliqué à ce revenu.

Taux d’intérêt

Les différents éléments énoncés ci-dessus sont pris en considération par le prêteur au moment de la négociation du prêt et sont contenus dans ce que l’on appelle le taux d’intérêt que le prêteur propose à (exige de) l’emprunteur.

Ainsi, un taux d’intérêt « nominal » pour une année peut être grossièrement décomposé en ses différents éléments constitutifs comme le montrent les deux exemples présentés dans le tableau 1 :

Tableau 1 : Composantes du taux annuel nominal (exemples)

composantes-taux-annuel-nominal

En mathématiques financières, il ne faut jamais perdre de vue que les taux d’intérêt sont toujours relatifs à une période. Celle-ci est généralement l’année ou une partie aliquote de l’année comme le semestre, le trimestre, le mois. Exemples : 8% l’an ou 0,50% par mois. Il est même possible d’envisager un taux d’intérêt relatif à une période infiniment courte (une fraction de seconde) ; il sera alors appelé taux instantané.

Dans le langage courant, on exprime le taux d’intérêt en pour-cent, c’est-à-dire qu’il représente l’intérêt pour un capital de 100,-€ prêté pendant une période convenue (8% l’an, donc 8 € payés en dédommagement du prêt de 100,-€ pendant 1 an). En algèbre financière, ce taux doit être transformé en pour-un relatif à la période choisie, c’est-à-dire qu’il représente l’intérêt pour un capital de 1 € prêté pendant la période convenue (0,08 l’an, donc 8 centimes payés en dédommagement du prêt de 1 € pendant 1 an).

Intérêt et valeur acquise

valeur-capitalL’intérêt à payer par l’emprunteur au prêteur est calculé en prenant en considération le taux d’intérêt, le capital prêté et la durée totale du prêt. La valeur acquise à la fin de la durée du prêt par le capital prêté est égale à ce capital prêté majoré de l’intérêt portant sur toute la durée du prêt. Deux méthodes de calcul de l’intérêt peuvent être appliquées : celle dite à intérêts simples, et celle dite à intérêts composés. Elles seront analysées en détail dans la section suivante.

Exemples :

  • à intérêts simples, un capital de 1 000 000,-€ prêté pendant 5 ans à du 10% l’an donne un intérêt de 1 000 000.0,10.5 € soit 500 000,-€, et une valeur acquise de 1 500 000,-€ ;
  • à intérêts composés, ce même capital placé à du 10% l’an pendant 5 ans donne un intérêt de
    (1 000 000 (1,10)5 – 1 000 000) € soit 610 510 € et une valeur acquise de 1 610 510 €.

Commentaires

1) Dans la grande majorité des cas, les prêts sont calculés à taux fixe, c’est-à-dire que le taux d’intérêt ne change pas durant la durée du prêt. Le prêteur court le risque d’un « manque à gagner » si les taux d’intérêt haussent durant le prêt, mais il a un revenu garanti en cas de baisse des taux d’intérêt. Si le prêteur croit que les taux d’intérêt vont hausser, et pour éviter ce manque à gagner, il demande parfois que le prêt soit conclu à taux variable, c’est-à-dire que l’on convient que le taux soit revu régulièrement. Le raisonnement analogue peut être tenu pour l’emprunteur.

Exemples :

  • le taux appliqué revu tous les ans sera égal au Libor (taux de référence établi quotidiennement sur la place financière de Londres) du jour de la révision majoré d’une prime de risque invariable : taux = Libor + 1/8 de % les emprunts obligataires « à charnières » dont les taux changent à certaines dates déterminées.

2) Dans la grande majorité des cas également, les prêts sont conclus pour une durée totale déterminée, mais certains prêts possèdent une clause de « remboursement anticipé ».

Exemples :

  • les emprunts obligataires assortis d’un « call » ou possibilité de remboursement anticipé (voir chapitre relatif aux emprunts par titres)
  • les contrats de crédit hypothécaire ou de crédit d’investissement qui contiennent une clause fixant le montant de l’indemnité à payer par l’emprunteur qui souhaite rembourser anticipativement son prêt. Cette opération peut être intéressante pour ce dernier mais défavorable au prêteur en cas de baisse des taux d’intérêt (voir chapitre relatif aux modalités de remboursement d’un emprunt).

Valeur actuelle, actualisation et taux d’actualisation

Pour introduire ces notions, certains auteurs disent que « la technique d’actualisation trouve son origine dans la préférence quasi universelle des individus pour le présent plutôt que pour le futur. Monsieur X, individu normal, préférera consommer des biens aujourd’hui plutôt que demain. Confronté à l’alternative de dépenser 1 000,-€ en plus cette année ou de les dépenser dans un an, il ne voit pas pourquoi il se priverait maintenant sans le moindre gain en retour. Par contre, si on lui offre 1 100,-€ l’année prochaine, il pourrait être prêt à faire le sacrifice de 1 000,-€ cette année-ci. Monsieur X aura exprimé son taux de préférence temporelle, qui est exactement de 10% par an, s’il estime qu’il lui est indifférent de posséder 1 000,-€ maintenant ou 1 100, € dans un an ».

Nous dirons par la suite qu’il est équivalent/indifférent pour cet individu d’avoir 1 000,-€ aujourd’hui (temps 0) que 1 100,-€ dans un an (temps 1) et nous écrirons l’expression synthétique suivante :

(1000,0) = (1100,1)

Les parenthèses et leur contenu forment un capi-temps.

Commentaires :

1) Tous les agents économiques n’ont pas le même taux de préférence temporelle et celui-ci peut varier selon la durée de l’opération.

2) Il est intéressant de savoir exprimer un taux de préférence temporelle qui ait la forme d’un taux d’intérêt et qui utilise les notions d’intérêt et de valeur acquise présentées dans la section précédente.

Exemple : Quel est mon taux de préférence temporelle s’il m’est indifférent d’avoir 1 000,-€ aujourd’hui ou 1 100,-€ dans un an?

  • On sait que  (1000,0) = (1000+100 ,1)
  • On peut écrire  1000 (1+i) = 1100
  • i =  (1100/1000) – 1
  • i = 0,1 l’an ou 10% l’an

Ce taux de préférence temporelle, ou taux d’indifférence s’appelle en général taux d’actualisation.

Le taux d’actualisation permet de trouver la valeur actuelle (valeur d’aujourd’hui) qui est équivalente à un capital associé à un moment précis dans le futur. On appelle en général t0 le moment d’actualisation correspondant au moment présent et tn le moment auquel est associé le capital futur connu. On appelle en général C0 le capital associé à t0 et Cn, le capital associé à tn.

Exemple :

Vous devez payer 110 000,-€ à un fournisseur dans un an. Mais celui-ci a un urgent besoin d’argent et il vous demande de le payer aujourd’hui.

Pour vous. (100 000,t0) = (110 000,t1) car vous pouvez placer aujourd’hui 100 000, -€ pendant un an à du 10% pour obtenir les 110 000,-€ à payer dans un an.

Vous utilisez donc un taux d’actualisation de 10%-l’an pour trouver la valeur actuelle de votre dette qui échoit dans un an. Vous dites à votre fournisseur que vous acceptez de le payer maintenant, à condition de ne lui payer que 100 000,-€.

Si le taux d’actualisation est connu, son utilisation dans les analyses de la rentabilité d’un investissement s’avère intéressante : pour savoir si un investissement est rentable, ou s’il est plus rentable qu’un investissement alternatif, on va comparer la dépense initiale (l’achat de l’équipement) avec la valeur actualisée (au moment de la dépense) de tous les revenus nets futurs. Il faut que cette valeur actualisée soit la plus grande possible, et au moins supérieure à la dépense initiale. Cette notion sera approfondie ultérieurement.

Si le taux d’actualisation est inconnu, il faudra essayer de le déterminer. Les techniques d’évaluation existent et sont utilisées en gestion financière.

 

interets-simples-composes

Capitalisation et actualisation à intérêts simples et à intérêts composes

décembre 31st, 2018 Posted by Uncategorized 0 thoughts on “Capitalisation et actualisation à intérêts simples et à intérêts composes”

Intérêts simples – définitions

On dit qu’un capital Co est placé à intérêts simples pour une durée totale de n périodes à un taux d’intérêt i relatif à une période lorsqu’un intérêt périodique It étant calculé pour chaque période en appliquant le taux d’intérêt i sur le capital de départ, on additionne tous ces intérêts périodiques pour obtenir l’intérêt total I. La valeur acquise appelée Cn obtenue après n périodes est calculée en majorant le capital placé Co de l’intérêt total I.

Détermination de l’intérêt :

determination-interet

Détermination de la valeur acquise :

Par définition Cn = CO + I

donc Cn = CO + CO .i.n

et Cn = CO (1+ i.n)                                                                     (F3)

 

Le facteur de capitalisation IR est le coefficient par lequel le capital actuel connu Co est multiplié pour obtenir la valeur future capitalisée Cn

IR + 1 + i.n

Exemples :

  • Déterminez pour un capital de 100.000 euros placé pendant 5 ans à intérêts simples à du 7% l’an :
  1. a) la rémunération obtenue par le prêteur à la fin de chaque période
  2. b) l’intérêt total obtenu au bout des 5 ans
  3. c) la valeur acquise par le capital de départ au bout des 5 ans

Solution :

  1. a) I = 100.000 . 0,07 = 7 000 soit 7 000 euros reçus au bout de chaque année
  2. b) I = 100.000 . 0,07.5 = 35 000 soit 35 000 euros d’intérêt reçus au bout des 5 ans c) C5 = 100 000 . (1+0,07.5) = 135 000 euros. Les 100.000 € prêté ont une valeur acquise de 135 000 euros au bout de 5 ans.
  • Les mêmes questions sont posées dans le cas d’un capital de un million placé pendant 5 ans à intérêts simples à un taux de 5% par semestre.

Solution :

  1. It = 100 000 . 0,05 = 5 000 soit 5 000 euros reçus à la fin de chaque semestre
  2. I = 5 000 . 10 = 50 000 soit 50 000 euros reçus au bout de 10 semestres (5 ans)
  3. C10 = 100 000 (1+0,05.10) = 150 000 euros. Ce montant correspond à la valeur acquise par les 100.000 € placé à intérêts simples pendant 5 ans au taux de 5% par semestre.

La valeur actuelle Co établie en to équivalente à intérêts simples à un capital Cn, associé au temps tn, soit n périodes plus tard, découle de la formule (F3) si le taux d’actualisation i est relatif à une période.

valeur-actuelle

La valeur actuelle Co obtenue par (F5) est encore appelée valeur escomptée par escompte rationnel. Le facteur d’escompte rationnel ER est le coefficient par lequel le capital connu et futur Cn est multiplié pour obtenir la valeur équivalente actualisée Co.

valeur-escomptee

Exemples :

  • Quelle est, aujourd’hui, la valeur escomptée par escompte rationnel de 50 000 € à recevoir dans 6 mois si le taux d’intérêt annuel est de 6% ?

Solution : Co = 50 000/(1+0,06.0,5) = 48 543,689 €

Vérification : Co,5 = 48 543,689 . (1+0,06.0,5) = 50 000 €

  • Une personne (X) emprunte, à du 8% l’an une somme de 2 000 $, à rembourser dans 9 mois à une autre personne (S). Soit C, le montant à payer par X à S au bout des 9 mois. Trois mois après la date du prêt, S vend la reconnaissance de dette de X à Z, qui désire retirer du 10% de son placement à intérêts simples. Que vaut P3, c’est-à-dire le prix de vente de la reconnaissance de dette?
  • Solution :

C9 = 2000(1+0,08.0,75) = 2120$

P3 = 2120 / (1+0,10.0,5) = 2019$

Analyse de la méthode et hypothèses

La méthode de capitalisation à intérêts simples est basée sur deux hypothèses :

Hypothèse 1 (H1): les flux financiers sont certains

On ne met pas en doute le fait que certains paiements seront effectués à certains moments précis dans le temps, que l’emprunteur paiera ses dettes, que l’investissement générera les recettes établies, que l’action procurera un certain dividende, etc.

Dans les enseignements de gestion financière qui font largement appel au principe d’actualisation, cette hypothèse sera évidemment critiquée et différentes solutions seront proposées pour estimer les capitaux futurs de la meilleure façon possible.

Cette hypothèse caractérise en fait les mathématiques financières ou l’algèbre financière.

Les mathématiques viagères, qui découlent des mathématiques financières, sont utilisées dans les compagnies d’assurance car elles font appel aux probabilités liées à l’incertitude de la durée de la vie des individus.

Hypothèse 2 (H2) : le taux d’intérêt est constant et unique

C’est toujours le même taux d’intérêt pour 1 relatif à une période, celui qui a été fixé à la signature du contrat, qui est appliqué pour calculer tous les intérêts périodiques (formule (F1)).

On n’envisage donc pas lors de la capitalisation à intérêts simples que le contrat liant le prêteur à l’emprunteur ait un taux d’intérêt variable, ni que plusieurs taux, connus dès la signature du contrat, puissent être appliqués.

Ces deux hypothèses indiquent que nous travaillons en avenir déterministe, et que les agents économiques ont une connaissance parfaite de tous les flux financiers considérés.

Intérêts composés – Définitions

Les agents économiques en surplus financier qui envisagent de prêter des capitaux vont en général proposer une formule de prêt qui leur procure un intérêt maximum.

Trois stratégies permettent d’obtenir ce maximum, mais l’une d’entre elles, la dernière des trois stratégies qui vont être présentées, celle qui est appelée méthode de capitalisation à intérêts composés, donne l’intérêt de façon immédiate et certaine, alors que les deux autres nécessitent des opérations financières intermédiaires sujettes à des modifications de taux d’intérêt.

1ère stratégie : replacement annuel des intérêts périodiques

Exemple :

Soit 1 000 000 € = le capital Co prêté au temps to

5 ans = la durée du prêt qui s’achève en t5 (n=5)

8% = i le taux d’intérêt annuel

Hypothèses : Les hypothèses 1 et 2 énoncées précédemment sont supposées satisfaites : le prêteur est certain de pouvoir replacer immédiatement les intérêts I4 dès qu’il les perçoit, c’est-à-dire à la fin de chaque période et le taux i est le taux qui sera appliqué à chaque période (hypothèse peu réaliste).

Les intérêts de la période 1 soit I1 ont une valeur de 80 000 € associée au temps t1. Cette somme, replacée pendant 1 an, a une valeur acquise de 86 400 € en t2. A son tour, ce montant peut être replacé pendant un an et devient 93 312 f€ en t3 etc. jusqu’en t5, moment où les 80 000 € du départ sont devenus, par leur replacement à du 8% (hypothèse de taux unique) 108 839 €.

Le même raisonnement peut être suivi pour les 80 000 € qui constituent I2 au temps t2; en t5, ils sont devenus 100 777 €.

De la même manière I3 et I4 deviennent en t5 respectivement 93 313 et 86 400 francs.

Les 80 000 qui constituent I5 ne sont pas replacés, puisqu’ils sont perçus en t5.

En additionnant toutes ces valeurs acquises par les It, on obtient un intérêt total égal à 469 328 francs et les 1 000 000 € prêtés ont acquis en 5 ans une valeur de 1 469 328 €.

Formalisation

valeurs-acquises

Les termes entre crochets sont en progression géométrique de raison (1+i).

Une formule fréquemment utilisée en algèbre financière donne la valeur de la somme de termes en progression géométrique.

formule-algebre-financiere

replacement-interets

 

2ème stratégie : prêt renouvelé chaque année

Le prêteur ne prête C0 que pour une période. A la fin de celle-ci, il récupère le capital majoré de l’intérêt périodique et reprête l’ensemble pour la période suivante. Il renouvelle l’opération autant de fois qu’il le souhaite.

Les hypothèses 1 et 2 sont supposées satisfaites, or ceci n’est pas évident dans la pratique.

Le même exemple donne les résultats suivants :

  • 1 000 000 en t0 deviennent 1 080 000 en t1
  • 1 080 000 en t1 deviennent 1 166 400 en t2
  • 1 166 400 en t2 deviennent 1 259 712 en t3
  • 1 259 712 en t3 deviennent 1 360 489 en t4
  • 1 360 489 en t4 deviennent 1 469 328 en t5

Ceci veut dire que selon cette technique, et en supposant que toutes les opérations se sont réalisées au taux de 8% (hypothèse de taux unique), le capital de 1 000 000 € a une valeur acquise de 1 469 328 € en t5, soit le même résultat que la stratégie précédente.

Formalisation

pret-renouvele

3ème stratégie : capitalisation à intérêts composés

Le prêteur exige que l’emprunteur paie à la fin du prêt, un dédommagement total qui tienne compte des dédommagements It et des intérêts produits par le replacement des I jusqu’à la fin du prêt, à un taux identique à celui appliqué au capital prêté. Les hypothèses 1 et 2 sont encore supposées satisfaites.

Définition de la méthode : Un capital placé pendant n périodes à intérêts composés rapporte un intérêt total calculé en incorporant les intérêts périodiques dans le capital au bout de chaque période de capitalisation. Ces intérêts produisent à leur tour des intérêts jusqu’à la fin de l’opération financière, aux mêmes conditions que le capital de départ.

Formalisation :

 

interets-composes
Formules :

formules

Conclusions

Ces trois stratégies donnent un résultat rigoureusement équivalent si les hypothèses H1 et H2 sont satisfaites, mais la capitalisation à intérêts composés fixe dès le départ toutes les conditions du prêt, tandis que les deux autres dépendent dans la réalité de l’évolution du taux d’intérêt, et font donc courir au prêteur un risque de taux d’intérêt puisqu’il doit effectuer de nouveaux placements à la fin de chaque période. En conséquence, la méthode de capitalisation à intérêts composés semble la méthode à retenir par le prêteur s’il veut éviter tout risque de taux d’intérêt.

Comparaison des méthodes de capitalisation à intérêts simples (IS) et à intérêts composés (IC)

Première constatation

La formule permettant de trouver avec la méthode des intérêts simples la valeur acquise connaissant la valeur de départ, la durée totale du placement et le taux d’intérêt est une expression linéaire tandis que la formule a une forme exponentielle avec la méthode des intérêts composés.

Le tableau 2 met en évidence

  • d’une part que l’écart entre les valeurs acquises obtenues à IS et IC est d’autant plus élevé que le taux d’intérêt est élevé et que la durée est longue,
  • d’autre part que pour des durées de placement inférieures à la période de capitalisation, la valeur acquise à IS est supérieure à celle obtenue à IC.

tableau-interets

Deuxième constatation

Pour |i|<1, ce qui est le cas en pratique, un développement en série de (1+i)n donne :

calcul-interets

Les deux premiers termes constituent le facteur de capitalisation à intérêts simples IR. Le reste d’ordre 2 est composé de termes d’autant plus négligeables que i et n sont petits. Donc, lorsque le taux d’intérêt est faible et la durée totale du prêt est courte, la valeur acquise à IC est très proche de celle obtenue à IS.

Troisième constatation

La méthode de calcul des intérêts à intérêts simples a comme gros avantage une grande simplicité d’utilisation dans des problèmes financiers élémentaires, mais ne permet pas de résoudre simplement des problèmes financiers dans lesquels on réalise des opérations à des échéances intermédiaires, comme le montre l’exemple ci-dessous :

1° Soit 2 000,-€ placés au taux annuel réel de 8% à intérêts simples pendant 9 mois :

  • en le plaçant directement pour 9 mois, on obtient une valeur acquise C9 de 2 120,-€.
  • en le plaçant pendant 3 mois, on obtient une valeur acquise C3 de 2 040, €. Si ceux-ci sont replacés pour 6 mois, ils donnent une valeur acquise finale C’9, de 2 121,6 €
  • la différence entre C9, et C’9, correspond à l’intérêt pendant 6 mois sur l’intérêt de 40 € obtenu au bout des 3 mois.

2° Si on effectue un escompte rationnel partant de C9, on retrouvera 2000 € mais on n’obtiendra évidemment pas ce résultat en partant de C’9.

 3° Si les mêmes opérations de capitalisation sont réalisées à intérêts composés, les valeurs acquises dans les deux cas seront tout à fait identiques et égales à 2 118,84 €. Il n’y aura pas non plus de différences lors de l’opération d’actualisation.