Méthodes de capitalisation et d’actualisation à intérêts simples et intérêts composés

mai 27th, 2019 Posted by Uncategorized 0 thoughts on “Méthodes de capitalisation et d’actualisation à intérêts simples et intérêts composés”

Intérêts simples – définitions

On dit qu’un capital Co est placé à intérêts simples pour une durée totale de n périodes à un taux d’intérêt i relatif à une période lorsqu’un intérêt périodique It étant calculé pour chaque période en appliquant le taux d’intérêt i sur le capital de départ, on additionne tous ces intérêts périodiques pour obtenir l’intérêt total I. La valeur acquise appelée Cn obtenue après n périodes est calculée en majorant le capital placé Co de l’intérêt total I.

Détermination de l’intérêt :

interets-simples

Détermination de la valeur acquise :

valeur-acquise

Le facteur de capitalisation IR est le coefficient par lequel le capital actuel connu Co est multiplié pour obtenir la valeur future capitalisée Cn

IR + 1 + i.n

Exemples de calcul avec intérêts simples

interet-simple-composeDéterminez pour un capital de 1 000 000 Euros placé pendant 5 ans à intérêts simples à du 7% l’an :

a) la rémunération obtenue par le prêteur à la fin de chaque période

b) l’intérêt total obtenu au bout des 5 ans

c) la valeur acquise par le capital de départ au bout des 5 ans

Solution :

a) I = 1 000 000 . 0,07 = 70 000 soit 70 000 Euros reçus au bout de chaque année

b) I = 1 000 000 . 0,07.5 = 350 000 soit 350 000 Euros d’intérêt reçus au bout des 5 ans c) C5 = 1 000 000 . (1+0,07.5) = 1 350 000 Euros. Le million prêté a une valeur acquise de 1 350 000 Euros au bout de 5 ans.

Les mêmes questions sont posées dans le cas d’un capital d’un million placé pendant 5 ans à intérêts simples à un taux de 5% par semestre.

Solution :

  1. It = 1 000 000 . 0,05 = 50 000 soit 50 000 Euros reçus à la fin de chaque semestre
  2. I = 50 000 . 10 = 500 000 soit 500 000 Euros reçus au bout de 10 semestres (5 ans)
  3. C10 = 1 000 000 (1+0,05.10) = 1 500 000 Euros. Ce montant correspond à la valeur acquise par le million placé à intérêts simples pendant 5 ans au taux de 5% par semestre.

La valeur actuelle Co établie en to équivalente à intérêts simples à un capital Cn, associé au temps tn, soit n périodes plus tard, découle de la formule (F3) si le taux d’actualisation i est relatif à une période.

valeur-actuelle

La valeur actuelle Co obtenue par (F5) est encore appelée valeur escomptée par escompte rationnel. Le facteur d’escompte rationnel ER est le coefficient par lequel le capital connu et futur Cn est multiplié pour obtenir la valeur équivalente actualisée Co.

valeur-actualisee

Exemples :

Quelle est, aujourd’hui, la valeur escomptée par escompte rationnel de 50 000 Euros à recevoir dans 6 mois si le taux d’intérêt annuel est de 6% ?

Solution : Co = 50 000/(1+0,06.0,5) = 48 543,689 Euros

Vérification : Co,5 = 48 543,689 . (1+0,06.0,5) = 50 000 Euros

  • Une personne (X) emprunte, à du 8% l’an une somme de 2 000 $, à rembourser dans 9 mois à une autre personne (S). Soit C, le montant à payer par X à S au bout des 9 mois. Trois mois après la date du prêt, S vend la reconnaissance de dette de X à Z, qui désire retirer du 10% de son placement à intérêts simples. Que vaut P3, c’est-à-dire le prix de vente de la reconnaissance de dette ?
  • Solution :

C9 = 2000(1+0,08.0,75) = 2120$

P3 = 2120 / (1+0,10.0,5) = 2019$

Analyse de la méthode et hypothèses

La méthode de capitalisation à intérêts simples est basée sur deux hypothèses :

Hypothèse 1 (H1) : les flux financiers sont certains

On ne met pas en doute le fait que certains paiements seront effectués à certains moments précis dans le temps, que l’emprunteur paiera ses dettes, que l’investissement générera les recettes établies, que l’action procurera un certain dividende, etc.

Dans les enseignements de gestion financière qui font largement appel au principe d’actualisation, cette hypothèse sera évidemment critiquée et différentes solutions seront proposées pour estimer les capitaux futurs de la meilleure façon possible.

Cette hypothèse caractérise en fait les mathématiques financières ou l’algèbre financière.

Les mathématiques viagères, qui découlent des mathématiques financières, sont utilisées dans les compagnies d’assurance car elles font appel aux probabilités liées à l’incertitude de la durée de la vie des individus.

Hypothèse 2 (H2) : le taux d’intérêt est constant et unique

C’est toujours le même taux d’intérêt pour 1 relatif à une période, celui qui a été fixé à la signature du contrat, qui est appliqué pour calculer tous les intérêts périodiques (formule (F1)).

On n’envisage donc pas lors de la capitalisation à intérêts simples que le contrat liant le prêteur à l’emprunteur ait un taux d’intérêt variable, ni que plusieurs taux, connus dès la signature du contrat, puissent être appliqués.

Ces deux hypothèses indiquent que nous travaillons en avenir déterministe, et que les agents économiques ont une connaissance parfaite de tous les flux financiers considérés.

Intérêts composés – Définitions

actualisation-capitalLes agents économiques en surplus financier qui envisagent de prêter des capitaux vont en général proposer une formule de prêt qui leur procure un intérêt maximum.

Trois stratégies permettent d’obtenir ce maximum, mais l’une d’entre elles, la dernière des trois stratégies qui vont être présentées, celle qui est appelée méthode de capitalisation à intérêts composés, donne l’intérêt de façon immédiate et certaine, alors que les deux autres nécessitent des opérations financières intermédiaires sujettes à des modifications de taux d’intérêt.

lère stratégie : replacement annuel des intérêts périodiques

Exemple :

Soit      1 000 000 Euros = le capital Co prêté au temps to

5 ans = la durée du prêt qui s’achève en t5 (n=5)

8% = i le taux d’intérêt annuel

Hypothèses : Les hypothèses 1 et 2 énoncées précédemment sont supposées satisfaites : le prêteur est certain de pouvoir replacer immédiatement les intérêts I4 dès qu’il les perçoit, c’est-à-dire à la fin de chaque période et le taux i est le taux qui sera appliqué à chaque période (hypothèse peu réaliste).

Les intérêts de la période 1 soit I1 ont une valeur de 80 000 Euros associée au temps t1. Cette somme, replacée pendant 1 an, a une valeur acquise de 86 400 Euros en t2. A son tour, ce montant peut être replacé pendant un an et devient 93 312 Euros en t3 etc. jusqu’en t5, moment où les 80 000 Euros du départ sont devenus, par leur replacement à du 8% (hypothèse de taux unique) 108 839 Euros.

Le même raisonnement peut être suivi pour les 80 000 Euros qui constituent I2 au temps t2; en t5, ils sont devenus 100 777 Euros.

De la même manière I3 et I4 deviennent en t5 respectivement 93 313 et 86 400 Euros.

Les 80 000 qui constituent I5 ne sont pas replacés, puisqu’ils sont perçus en t5.

En additionnant toutes ces valeurs acquises par les It, on obtient un intérêt total égal à 469 328 Euros et les 1 000 000 Euros prêtés ont acquis en 5 ans une valeur de 1 469 328 Euros.

Formalisation

temps-valeurs-acquises

 

 

 

 

 

 

Or I1=I2=I3=…=It=…=In                       (voir (F1))

Cn devient

Cn = C0+I1 [(1+i)n-1+(1+i)n-2 +…+(1+i)+1]

Réécrite, cette expression devient

Cn = C0+I1 [1+(1+i)+…+(1+i)n-1]

Les termes entre crochets sont en progression géométrique de raison (1+i).

Une formule fréquemment utilisée en algèbre financière donne la valeur de la somme de termes en progression géométrique.

somme-termes-progression-geometrique

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Application de la formule :

Cn = 1 000 000 (1,08)5 = 1 469 328 Euros

2ème stratégie : prêt renouvelé chaque année

Le prêteur ne prête C0 que pour une période. A la fin de celle-ci, il récupère le capital majoré de l’intérêt périodique et reprête l’ensemble pour la période suivante. Il renouvelle l’opération autant de fois qu’il le souhaite.

Les hypothèses 1 et 2 sont supposées satisfaites, or ceci n’est pas évident dans la pratique.

Le même exemple donne les résultats suivants :

1 000 000 en t0 deviennent 1 080 000 en t1

1 080 000 en t1 deviennent 1 166 400 en t2

1 166 400 en t2 deviennent 1 259 712 en t3

1 259 712 en t3 deviennent 1 360 489 en t4

1 360 489 en t4 deviennent 1 469 328 en t5

Ceci veut dire que selon cette technique, et en supposant que toutes les opérations se sont réalisées au taux de 8% (hypothèse de taux unique), le capital de 1.000.000 Euros a une valeur acquise de 1 469 328 Euros en t5, soit le même résultat que la stratégie précédente.

Formalisation

pret-renouvele

 

 

 

 

 

 

 

 

3ème stratégie : capitalisation à intérêts composés

Le prêteur exige que l’emprunteur paie à la fin du prêt, un dédommagement total qui tienne compte des dédommagements It et des intérêts produits par le replacement des I jusqu’à la fin du prêt, à un taux identique à celui appliqué au capital prêté. Les hypothèses 1 et 2 sont encore supposées satisfaites.

Définition de la méthode : Un capital placé pendant n périodes à intérêts composés rapporte un intérêt total calculé en incorporant les intérêts périodiques dans le capital au bout de chaque période de capitalisation. Ces intérêts produisent à leur tour des intérêts jusqu’à la fin de l’opération financière, aux mêmes conditions que le capital de départ.

Formalisation :

interets-composes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Conclusion

 Ces trois stratégies donnent un résultat rigoureusement équivalent si les hypothèses H1 et H2 sont satisfaites, mais la capitalisation à intérêts composés fixe dès le départ toutes les conditions du prêt, tandis que les deux autres dépendent dans la réalité de l’évolution du taux d’intérêt, et font donc courir au prêteur un risque de taux d’intérêt puisqu’il doit effectuer de nouveaux placements à la fin de chaque période. En conséquence, la méthode de capitalisation à intérêts composés semble la méthode à retenir par le prêteur s’il veut éviter tout risque de taux d’intérêt.

Comparaison des méthodes de capitalisation à intérêts simples (IS) et à intérêts composés (IC)

Première constatation : la formule permettant de trouver avec la méthode des intérêts simples la valeur acquise connaissant la valeur de départ, la durée totale du placement et le taux d’intérêt est une expression linéaire tandis que la formule a une forme exponentielle avec la méthode des intérêts composés.

Le tableau met en évidence

  1. d’une part que l’écart entre les valeurs acquises obtenues à IS et IC est d’autant plus élevé que le taux d’intérêt est élevé et que la durée est longue,
  2. d’autre part que pour des durées de placement inférieures à la période de capitalisation, la valeur acquise à IS est supérieure à celle obtenue à IC.

tableau-interets-simpls-composes

Les deux premiers termes constituent le facteur de capitalisation à intérêts simples IR. Le reste d’ordre 2 est composé de termes d’autant plus négligeables que i et n sont petits. Donc, lorsque le taux d’intérêt est faible et la durée totale du prêt est courte, la valeur acquise à IC est très proche de celle obtenue à IS.

Troisième constatation : la méthode de calcul des intérêts à intérêts simples a comme gros avantage une grande simplicité d’utilisation dans des problèmes financiers élémentaires, mais ne permet pas de résoudre simplement des problèmes financiers dans lesquels on réalise des opérations à des échéances intermédiaires, comme le montre l’exemple ci-dessous :

1° Soit 2 000,-Euros placés au taux annuel réel de 8% à intérêts simples pendant 9 mois :

  • en le plaçant directement pour 9 mois, on obtient une valeur acquise C9 de 2 120,-Euros.
  • en le plaçant pendant 3 mois, on obtient une valeur acquise C3 de 2 040, Euros. Si ceux-ci sont replacés pour 6 mois, ils donnent une valeur acquise finale C’9, de 2 121,6 Euros
  • la différence entre C9, et C’9, correspond à l’intérêt pendant 6 mois sur l’intérêt de 40 Euros obtenu au bout des 3 mois.

2° Si on effectue un escompte rationnel partant de C9, on retrouvera 2000 Euros mais on n’obtiendra évidemment pas ce résultat en partant de C’9.

3° Si les mêmes opérations de capitalisation sont réalisées à intérêts composés, les valeurs acquises dans les deux cas seront tout à fait identiques et égales à 2 118,84 Euros. Il n’y aura pas non plus de différences lors de l’opération d’actualisation.

Hypothèse d’efficacité financière

Si l’on veut élaborer une théorie financière cohérente et rationnelle, il faut formuler une hypothèse fondamentale supplémentaire :

Hypothèse 3 (H3) : un Euro ne reste jamais improductif d’intérêt car il est immédiatement placé.

En d’autres termes :

  • Avoir un Euro aujourd’hui vaut plus qu’avoir un Euro dans 1 an, puisque l’Euro d’aujourd’hui, placé pendant 1 an, vaudra 1(1+i) Euro dans un an. Rappelons que dans le taux d’intérêt appliqué, ou taux d’intérêt nominal, il y a au moins deux composantes : le taux d’inflation attendu et le taux d’intérêt réel. Il faut donc que le taux nominal soit supérieur au taux d’inflation attendu ; si le taux nominal est inférieur à l’inflation effectivement réalisée, l’Euro d’aujourd’hui vaudra moins qu’un Euro demain, car celui d’aujourd’hui aura subi pendant 1 an tout ou une partie de l’érosion monétaire !
  • Si on dispose d’un capital pour une certaine durée, on ne le laisse pas inactif : soit on le place de façon rémunératrice, soit on l’utilise en trésorerie et on lui affecte une rémunération identique au coût de l’emprunt que l’on ne doit pas réaliser, soit on l’affecte à un investissement productif dont on détermine le taux de rentabilité etc. Dans tous les cas, on peut calculer ce que l’opération rapporte.
  • Si on a besoin de capitaux supplémentaires, on les empruntera en sachant qu’ils devront être remboursés majorés des intérêts.

Cette hypothèse stipule qu’un capital C, associé à un temps t, aura une valeur différente si on l’associe à un autre moment :

  • Si on l’associe au temps t’ = t+h avec h>0, il aura une valeur C’>C parce qu’il aura été placé pendant la période h.

Donc C + intérêt = C’ (opération de capitalisation)

  • Si on l’associe au temps t » = t+h avec h<0, il aura une valeur C » <C parce que C », placé jusqu’au temps t à un certain taux d’intérêt, devra donner une valeur égale à C à ce moment. Donc C »‘ + intérêt = C (opération d’actualisation)

En vertu de cette hypothèse, il faut toujours associer un capital à un moment précis dans le temps.

Donc :

  • Avoir un capital C0 en t0 permet d’obtenir un capital Cn en tn
  • Posséder une créance de Cn, Euros payable en tn équivaut à avoir en t0 un capital C0 puisque celui-ci, placé pendant les n périodes donnera Cn, comme valeur acquise.

Pour la commodité de l’écriture, on utilisera les capi-temps.

L’équation des valeurs résume l’idée que si le taux d’intérêt i est donné, la connaissance de la valeur d’un capital à un moment t donné permet d’en calculer la valeur équivalente à n’importe quel autre moment t+h:

(C,t) = (C(1+i)h, t+h) avec h positif ou négatif

Exemples :

Si i = 8%, (1 000 000, t0) = (1 469 328, t5) à intérêts composés.

Dans les mêmes conditions, (93 312, t5) = (80 000, t3)

Remarque importante :

Cette hypothèse n’est pas satisfaite avec la méthode de capitalisation à intérêts simples, puisque celle-ci additionne des intérêts périodiques pour donner l’intérêt total.

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